Temel Kavramlar: Sayılar

Konu Özeti

Bir çokluk belirtmek için, rakamların belirli kurallara göre bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye sayı denir. Temel kavramların ele alındığı bu yazıda rakam, sayı ve sayı kümeleri ele alınmıştır. Ayrıca sayı kümelerinin özellikleri anlatılmıştır.

Rakam Nedir?

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Onluk sistemde kullanılan rakamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dur.

Sayı Nedir?

Bir çokluk belirtmek için, rakamların belirli kurallara göre bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye sayı denir.

Sayı Kümeleri

Sayıların belirli özelliklere göre bir araya gelerek oluşturduğu kümelerdir.

Doğal Sayılar Kümesi (N)

Kümelerin eleman sayısını belirten sayılara, yani N={0, 1, 2, 3, 4, ….., n, n+1, ….} şeklinde sonsuza kadar giden kümenin elemanlarına doğal sayı denir. En küçük doğal sayı 0 (sıfır) dır.

a, b, c birer rakam olmak üzere
ab iki basamaklı bir sayı ise ab= 10a + b
abc üç basamaklı bir sayı ise abc= 100a + 10b + c şeklinde yazılabilir.

Tam Sayılar Kümesi (Z)

Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın oluşturduğu kümeye tamsayılar kümesi denir. Z= {…., -n, …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …., n, ….} dir.

• Z+ = {1, 2, 3, …, n, ….,} pozitif tam sayılar kümesi.
• Z– = {…, -n, …., -3, -2, -1} negatif tam sayılar kümesi.
• Z= Z–$\cup \text{ 0 }\cup$ Z+ ve Z+ U {0} = N dir.
• 0 (sıfır) pozitif ya da negatif değildir, işareti olmayan bir tam sayıdır.

2 ile bölünebilen tam sayılara çift tam sayılar denir. k $\in$ Z için 2k ile gösterilir. Çift tam sayılar kümesi: Ç= {…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, ….} dir.
2 ile bölünemeyen tam sayılara tek tam sayılar denir. k $\in$ Z için 2k+1 veya 2k-1 ile gösterilir. Tek tam sayılar kümesi: T= {…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, ….} dir.

Ç=Çift tam sayılar ve T=Tek tam sayılarda işlemler aşağıdaki gibi gerçekleşir.

Ç$\pm$Ç=Ç	T$\pm$T=Ç	T$\pm$Ç=T
Ç.Ç=Ç	T.T=T	T.Ç=Ç
Tn =T (n $\in$ Z+)	Çn =Ç (n $\in$ Z+)

Rasyonel Sayılar Kümesi (Q)

a ve b birer tamsayı ve b $\mathrm{\ne }$0 olmak üzere, $\frac{𝑎}{𝑏}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.

Q={$\frac{𝑎}{𝑏}\text{: a, b }\in \text{ Z ve }𝑏\mathrm{\ne }0$}

$-\frac{3}{5},\frac{2}{3}$, -3, 0, 2, … sayıları birer rasyonel sayıdır.

• $\frac{𝑎}{𝑏}$ ifadesindeki b değeri 1 alınır ise $\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{𝑎}{1}=𝑎$ olur. Bu durumda a$\in$ Q olur ve buradan yola çıkarak her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır diyebiliriz. Bu durumda Z $\subset$ Q olur.
• $\frac{𝑎}{𝑏}$ ifadesinde a$\mathrm{\ne }$0 b=0 olursa ifade tanımsız olur.
• $\frac{𝑎}{𝑏}$ ifadesinde a=0, b=0 olduğunda $\frac{0}{0}$ “belirsiz” olur.
• Q=Q–$\cup$ {0} $\cup$ Q+

Devirli Ondalık Sayılar

Bir sayının ondalık yazımında virgülden sonraki kısmı belirli bir kurala göre tekrar ediyor ise bu sayılara devirli ondalık sayılar denir. Virgülden sonraki ilk devreden sayı grubunun (tekrar eden kısım) üstüne çizgi çizilerek gösterilir.

1/3=0,033333=$0,0\bar{3}$

1/2=0,50000 = $0,5\bar{0}$

Her devirli ondalık sayı bir rasyonel sayıdır. Rasyonel karşılığını hesaplamak için verilen formül kullanılabilir.

$$2,5\overline{23}=\frac{\stackrel{\text{Sayının tamamı}}{\overbrace{2523}}-\stackrel{\text{Devretmeyen kısım}}{\overbrace{25}}}{\underset{\text{Virg}\ddot{\text{u}}\text{lden sonra devreden kadar 9 devretmeyen kadar 0}}{\underbrace{990}}}$$

İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q’)

Virgülden sonraki kısmı bilinmeyen veya a, b, $\in$ Z ve b $\mathrm{\ne }$ 0 olmak üzere, $\frac{𝑎}{𝑏}$ şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir.

İrrasyonel sayılar kümesi Q’ ile gösterilir. Q’= {x : x $\mathrm{\ne }\frac{𝑎}{𝑏}$ ; a, b $\in$ Z ve b $\mathrm{\ne }$ 0}

$\sqrt{3}\sqrt[3]{-7}$, …., e, $𝜋$,… sayıları birer irrasyonel sayıdır.

Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi (R)

Sayı doğrusundaki bütün sayılarla bire bir eşlenebilen sayıların oluşturduğu kümeye reel sayılar kümesi denir ve R ile gösterilir.

• R=Q $\cup$ Q’
• N+ =Z+$\subset$ N $\subset$ Z $\subset$ Q $\subset$ R ve Q’ $\subset$ R dir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a + b $\in$ R dir. Herhangi iki gerçek sayının toplamı yine bir gerçek sayıdır.
2. Değişme özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a + b = b + a dır.
3. Birleşme özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a + (b + c) = (a + b) + c dir.
4. Etkisiz eleman özelliği: $\mathrm{\forall }$ a $\in$ R için a + 0 = a olduğu için toplama işleminde 0 etkisiz elemandır.
5. Ters eleman özelliği: $\mathrm{\forall }$ a $\in$ R için a + (-a) = (-a) + a = 0 olacak şekilde -a değeri vardır. a sayısının toplama işlemine göre tersine -a sayısı denir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a.b $\in$ R dır.İki gerçek sayının çarpımı yine gerçek sayıdır.
2. Değişme özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a.b= b.a olur.
3. Birleşme özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b $\in$ R için a. (b.c)= (a.b). c dir.
4. Etkisiz eleman özelliği: $\mathrm{\forall }$ a $\in$ R için a . 1 = 1 . a = a olduğundan 1 çarpma işleminde etkisiz elemandır.
5. Ters eleman özelliği: $\mathrm{\forall }$ a $\in$ R – {0} için a.$\frac{1}{𝑎}$ = $\frac{1}{𝑎}$. a = 1 olacak şekilde $\frac{1}{𝑎}\in$ R sayısı tanımlıdır. a $\in$ R – {0} sayısının çarpma işlemine göre tersi $\frac{1}{𝑎}$ dır.
6. Yutan eleman özelliği: Gerçek sayılar kümesinde 0 çarpmada yutan elemandır.
7. Dağılma özelliği: $\mathrm{\forall }$ a, b, c $\in$ R için a.(b+c) = a.b + a.c, (b+c).a = b.a + c.a
   a. (b-c) = a.b – a.c, (b-c). a = b.a – c.a dır. çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

 Denklemler ve Eşitsizlikler Ders Notları

Eğitim : Ödev / Ders / Proje / Tez / Çizim