Mutlak Değer

Konu Özeti

Gerçek sayının sayı doğrusunda sıfır noktasına olan uzaklığına sayının mutlak değeri denir. x bir sayı ise mutlak değeri "|x|" ile gösterilir.

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x>0\text{ ise}\\ 0,& x=0\text{ ise}\\ -x,& x<0\text{ ise}\end{array}$$

olarak tanımlanır.

Mutlak değer içindeki ifadenin gerçek sayı değeri 0 veya 0’dan büyükse mutlak değer dışına aynı çıkar. Fakat sayının değeri 0’dan küçük ise mutlak değer dışına çıkarken pozitif değer olması için negatif (-) işareti eklenerek çıkarılır.

• $𝑎>0⟹\mathrm{\mid }𝑎\mathrm{\mid }=𝑎$
• |5|=5
• $𝑎<0⟹\mathrm{\mid }𝑎\mathrm{\mid }=-𝑎$
• |-5|=-(-5)=5

Mutlak Değerin Özellikleri

x ve y reel sayı ise

1. $\mathrm{\mid }𝑥\mathrm{\mid }\ge 0$
2. |x|=|-x|
   |x-y|=|y-x|
3. |xn|=|x|n
4. k>0 için |k.x|=k.|x|
5. |x.y|=|x|.|y|
   $\mathrm{\mid }\frac{𝑥}{𝑦}\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }𝑥\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }𝑦\mathrm{\mid }},(𝑦\mathrm{\ne }0)$
6. $\mathrm{\mid }𝑥+𝑦\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }𝑥\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }𝑦\mathrm{\mid }$(Üçgen eşitsizliği)

Birinci Dereceden Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değer bulunan denklemlere mutlak değerli denklemler denir. |x|=9 denkleminde x değişkeni 9 ve -9 olmak üzere iki farklı değer alır. Fakat |x| ifadesi sadece pozitif değer alır.

Özetlersek: x ve a reel sayı olmak üzere

• a$\ge$0 için |x|=a veya x=-a olur.
• a<0 için |x|=a ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur ve ÇK=$\mathrm{\varnothing }$ olarak yazılır.
• |x|=|y| $⟹$ x=y veya x=-y olur.
• |x|=y $⟹$ x=y veya x=-y olur. x=y ve x=-y denklemleri ayrı ayrı çözülür ve bulunan kökler(x1, x2 ,…) yerine yazıldığında $𝑦\ge$ 0 durumunu sağlıyorsa çözüm kümesine dahil edilir.

Son yazdığımız özelliği aşağıdaki örnekte inceleyelim.

Örnek: |4x-7|=2x+5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

$$\begin{array}{cc}4𝑥-7=2𝑥+5& 4𝑥-7=-2𝑥-5\\ 2𝑥=12& 6𝑥=2\\ 𝑥=6& 𝑥=\frac{1}{3}\end{array}$$

olur. Bir değişken hem mutlak değer içinde hem de dışarıda kullanılmış ise, ilk denklemde yerine yazarak sağlaması yapılmalıdır. Mutlak değer negatif işaretli olamayacağı için kontrol edilmelidir.
6 ve 1/3 değeri denklemi sağladığı için ÇK={1/3, 6} olur.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli ifade eşitsizlik şeklinde ise mutlak değerli eşitsizlik denir. Mutlak değerli eşitsizlikler mutlak değerin tanımına göre çözülür.

I)a$\ge$0 olmak üzere |x| $\le 𝑎⟺-𝑎\le 𝑥\le 𝑎$

Örnek olarak |2x-4| $\le$ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesinin bulalım.

$$\mathrm{\mid }2𝑥-4\mathrm{\mid }\le 2\text{ ise }-2\le 2𝑥-4\le 2$$

olur.

$$\begin{array}{c}-2\le 2𝑥-4\le 2\\ 2\le 2𝑥\le 6\\ 1\le 𝑥\le 3\end{array}$$

şeklinde yazılır. Ç.K = [1, 3] olur.

II)a$\ge$ 0 olmak üzere |x| $\ge 𝑎⟺𝑥\ge 𝑎\text{ veya }𝑥\le -𝑎$

Örnek olarak |3x-12| $\ge$ 9 eşitsizliğinin çözüm kümesinin bulalım.

$$\begin{array}{cc}3𝑥-12\ge 9& \text{ veya }3𝑥-12\le -9\\ 3𝑥\ge 21& 3𝑥\le 3\\ 𝑥\ge 7& 𝑥\le 1\end{array}$$

Ç.K= $(-\mathrm{\infty },1]\cup [7,\mathrm{\infty })$ veya Ç.K= $𝑅-(1,7)$ olur.

III) $𝑥\in 𝑅\text{ ve }𝑎,𝑏\in {𝑅}^{+}$ olmak üzere $𝑎\le \mathrm{\mid }𝑥\mathrm{\mid }\le 𝑏⟺(𝑎\le 𝑥\le 𝑏\text{ veya }-𝑏\le 𝑥\le -𝑎)$ olur.

Örnek olarak $3<\mathrm{\mid }3𝑥-6\mathrm{\mid }\le 9$ eşitsizliğinin çözüm kümesinin bulalım.

$$\begin{array}{cc}3<3𝑥-6\le 9& \text{ veya }-9\le 3𝑥-6\le -3\\ 1<𝑥-2\le 3& -3\le 𝑥-2<-1\\ 3<𝑥\le 5& -1\le 𝑥<1\end{array}$$

Bu durumda $\stackrel{\backslash c}{𝐶}𝐾=(3,5]\cup [-1,1)$ olur.

IV)$\mathrm{\mid }𝑥\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }𝑦\mathrm{\mid }⟹{𝑥}^2\le {𝑦}^2$ olur.

Eğitim : Ödev / Ders / Proje / Tez / Çizim