EBOB ve EKOK

Konu Özeti

İki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) denir. İki veya daha fazla sayının hepsinin birden katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir. Bu değerler günlük hayattaki tekrar eden hesaplamalarda kullanılır.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve EBOB şeklinde gösterilir.

18 ve 24 sayılarının bölenlerini incelersek

• 18 in tam sayı bölenleri: 18→{1, 2, 3, 6, 9, 18} şeklindedir.
• 24 ün tam sayı bölenleri: 24→{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} şeklindedir.
• 18 ve 24 ün ortak pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 3, 6 dır.
• 18 ve 24 ü ortak bölen en büyük tam sayı 6 olur.
• EBOB (18, 24)=(18, 24)EBOB =6 şeklinde yazılır.

18 ve 24 ün EBOB’u aşağıdaki gibi de bulunabilir.

1. Sayı	2. Sayı	Bölen
18	24	$\boxed{{\displaystyle 2}}$
9	12	2
9	6	2
9	3	$\boxed{{\displaystyle 3}}$
3	1	3
1

18 ve 24 ü ortak bölen sayıların çarpımı EBOB’u oluşturur. EBOB(18.24)=2.3=6 olur.

EBOB’un Hesaplanması

Sayıların EBOB değeri bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak olan asal çarpanların üssü küçük olanları çarpılır.

Örnek: A= 24.3.57 , B=2.32.55 , C=3.53 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

Çözüm: EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üstlülerinin çarpımı ile bulunur. Bu durumda EBOB(A, B,C)=3.53 tir.

EBOB Özellikleri

a, b, c, k pozitif tamsayı ve EBOB(a,b)=c olmak üzere

1. EBOB(a, a)=a
2. EBOB(k.b, b)=b
3. EBOB(k.a, k.b)=k.c
4. EBOB($\frac{𝑎}{𝑐}$, $\frac{𝑏}{𝑐}$)=1
5. a<b ise EBOB(a, b)≤a<b
6. a ile b aralarında asal ise EBOB(a,b)=1’dir (ardışık tam sayılar ve ardışık tek sayılar aralarında asaldır).

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla sayının hepsinin birden katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK şeklinde yazılır. EKOK(a,b) veya (a, b)EKOK şeklinde gösterilir.

18 ve 24 sayılarının EKOK’unu bulmak için sayıların katlarını hesaplayalım.

• 18’in pozitif tam sayı katları 18→{18, 36, 54, 72, 90, 108,126, 144, 162,…} şeklindedir.
• 24’ün pozitif tam sayı katları 24→{24, 48, 72, 96, 120, 144, 168,…} şeklindedir.
• 18 ve 24 sayılarının pozitif ortak katları 72, 144,…. olduğundan en küçük ortak kat 72 olur.

1.Sayı	2.Sayı	Bölen
18	24	2
9	12	2
9	6	2
9	3	3
3	1	3
1	1

18 ve 24’ün ortak katlarının en küçüğünü bulurken bölenlerin hepsini çarpmak gerekir. EKOK(18, 24)=23,32 =72 olur.

EKOK’un Hesaplaması

EKOK değeri bulunurken öncelikle sayıların asal çarpanları bulunur. Daha sonra ortak veya ortak olmayan asal çarpanlardan üssü büyük olanlarının çarpımı EKOK değerini verir.

Örnek: a, b, c asal sayılar olmak üzere. X=a5.b2.c , Y= a.b3.c6 , Z= b.c7olduğuna göre X, Y, Z sayılarının Ekok’unu hesaplayınız.

Çözüm: X, Y, Z sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır. Ekok hesabında asal çarpanların üssü büyük olanları çarpılır. X= $\boxed{{\displaystyle {𝑎}^5}}$.b2.c Y= a.$\boxed{{\displaystyle {𝑏}^3}}$.c6 Z= b.$\boxed{{\displaystyle {𝑐}^7}}⟹$EKOK(X, Y, Z)= a5.b3.c7 olur.

EKOK Özellikleri

a, b, c, k pozitif tamsayı ve EKOK(a,b)=c olmak üzere

1. EKOK(a, a) = a
2. EKOK(k.b, b) = k.b
3. EKOK(k.a, k.b) = k.c
4. a, b pozitif tam sayı olmak üzere EBOB(a, b) . EKOK(a, b) = a.b şeklinde ifade edilir.
5. a ve b aralarında asal ise EBOB(a, b) = 1 ve EKOK(a, b) = a.b olur.
6. a ve b pozitif tam sayı olmak üzere her a, b için, a<b ise EBOB(a, b)≤a<b≤EKOK(a,b)
7. a, b, c, d pozitif tam sayılar olmak üzere
   EKOK($\frac{𝑎}{𝑏},\frac{𝑐}{𝑑}$)=$\frac{\text{EKOK(a, c)}}{\text{EBOB(b, d)}}$olur.

Periyodik Olarak Tekrar Eden Olay Uygulamaları

Bazı olaylar düzenli olarak belirli aralıklar ile tekrar eder. Bu olaylara periyodik olarak tekrar eden olaylar denir. Nöbet tutan bir hemşirenin nöbet döngüsü, spor yapan bir öğrencinin 3 günde bir spora gitmesi gibi olaylar periyodik olarak tekrar eden olaylara örnek verilebilir.

Örnek: Bugün cumartesi olduğuna göre 1587 gün sonra hangi gün olur?

Çözüm: Bir hafta 7 gün olduğuna göre her 7 günde bir yine cumartesi olacaktır. Bu durumda 1587 sayısını 7’ye bölersek geçen hafta sayısını buluruz ve kalan da cumartesiden sonra geçen gün sayısını verecektir. $\frac{1587}{7}=(226\times 7)+5$ olur. Bu durumda 226 hafta + 5 gün sonrasını hesaplamamız gereklidir. Cumartesi den 5 gün sonrası perşembe olur.

Örnek:Bir öğrenci her gün yüzmeye gitmektedir. İlk çarşamba günü gittiğine göre 99 gün sonra hangi güne denk gelir.

Çözüm: Her 7 günde bir tekrar çarşamba olduğu için 99’un içinde kaç tane 7 varsa çıkardığımızda kalanı çarşambanın üstüne sayarak hangi gün olduğunu buluruz. 99=(14×7)+1 olur. Bu durumda çarşambadan 1 gün sonra olan perşembeyi buluruz yani öğrenci 99 gün sonra perşembe günü yüzmeye gider.

Örnek:Bir yemekhanede 2 günde bir pirinç pilavı, 5 günde bir baklava, 3 günde bir fırın tavuk yapılmaktadır. İlk pazar günü üçü birlikte yapıldığına göre 5. kez beraber yapıldığı gün hangi güne denk gelir.

Çözüm: 2, 3 ve 5’in en küçük ortak katı olan gün sonra tekrar aynı anda yapılırlar. EKOK(2,3,5)=30 olur. 5.kez birlikte yapılması için 4 defa daha birlikte yapılmaları gerekir. Bu durumda 30×4=120 gün sonra aynı gün yapılır. 120/7 den kalan 1 olur. Bu durumda pazartesi günü 5. kez aynı gün pirinç pilavı, fırın tavuk ve baklava yapılmış olur.

Eğitim : Ödev / Ders / Proje / Tez / Çizim