n x = ∑ xi
sonucuna ulaşılır.
2.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır.
∑ ( xi – x ) = ∑ xi – nx
şeklinde parantez kaldırıldıktan sınra, eşitliğin sağ tarafındaki ∑ xi yerine eşiti olan nx 1.özelliğe göre konulabilir. Böylece
∑ xi – nx = nx – nx
ve dolayısıyla
∑ ( xi – x ) = 0
olur.
Bu özellik bir yandan ortalama sapmanın mutlak farklarla hesaplanması zorunluluğunu yaratırken, öte yandan regresyon ve korelasyon çözümlemesinde hesaplama kolaylığı sağlamaktadır.
3.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimumdur.
Söz konusu toplamın, terimlerin diğer herhangi bir değerden (sözgelimi P’den) sapmaların kareleri toplamından daha küçük olması da aynı anlamı taşır.
∑ ( xi – P )² = ∑ [ ( xi – x ) + ( x – P )]²
= ∑ ( xi – x )² + 2 ( x – P ) ∑ ( xi – x ) + n ( x – P )²
2.özelliğe göre,
∑ ( xi – x ) = 0
olduğu için,
∑ ( xi – P )² = ∑ ( xi – x )² + n ( x – P )²
eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte ( x – P )² ve dolayısıyla n ( x – P )² pozitif olduğuna göre,
∑ ( xi – P )² > ∑ ( xi – x )²
olacaktır.
4.Özellik : Bir serinin bütün terimlerine aynı sayıyı eklersek (çıkartırsak) aritmetik ortalama eklenen (çıkartılan) sayı kadar artar (azalır).
Terimlere K sayısını eklediğimizi varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri xi+K şeklinde ifade edilecektir. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.
∑ (xi + K) = ∑ xi + nK = x + K
n n
Terimlerden K sayısını çıkartsaydık,
∑ (xi – K) = ∑ xi – nK = x – K
n n
olurdu.
5.Özellik : Bir serinin bütün terimlerini aynı sayıyla çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız (böldüğümüz) sayıyla orantılı olarak büyür (küçülür).
Terimleri L sayısıyla çarptığımızı varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri Lxi olacaktır. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.
∑ Lxi = L∑ xi = Lx
n n
Terimleri L sayısına bölseydik,
xi 1
∑ L = L∑ xi = 1 x = x
n n L L
olurdu.
6.Özellik : Aritmetik ortalama çok duyarlı bir ortalamadır.
Çünkü serinin bütün terimleri aritmetik ortalamayı etkiler. enm.blogcu.com.Hele seride aşırı değerler bulunuyorsa bundan aritmetik ortalama çok etkilenir ve dolayısıyla temsili olma niteliğini kaybeder.
7.Özellik : İki serinin bütün terimleri karşılıklı olarak toplanarak (çıkartılarak) elde edilen serinin aritmetik ortalaması bu serilerin aritmetik ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir.
∑ (xi + yi) = ∑ xi + ∑yi = ∑ xi + ∑ yi = x + y
n n n n
∑ (xi – yi) = ∑ xi – ∑yi = ∑ xi – ∑ yi = x - y
n n n n
Bütün bu özellikleri aşağıdaki örnek üzerinde açıklayalım.
ÖRNEK :
Xi
3
4
5
7
11
30
Bu serinin aritmetik ortalaması x = 30 / 5 = 6’ya eşittir. Aritmetik ortalamanın terim sayısı ile çarpımı 6 (5) = 30’dur. Bilindiği gibi, 30 ise seri toplamıdır.
Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi 0’a eşittir.
Xi – X
3-6 = -3
4-6 = -2
5-6 = -1
7-6 = +1
11-6 = +5
0
Mod ve Medyan- Medyan - Medyan Hesaplama
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder
ders,plan,proje,performans,ödev