Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -8

Tablo 4.1

X Değerleri Frekanslar n Kümülatif frekans
5 2 2
6 4 6
7 6 12

8 3 15
9 1 16
16

N + 1 = 16 + 1 = 8.5
2 2
Medyan 8.5’uncu sırada olacağından değeri 7’dir.

Guplanmış serilerde medyanın yerini kolayca tayin etmek mümkün ise de değerini
bulmak diğer serilere kıyasla daha güçtür. Gruplanmış serilerde de önce frekanslar kümüle edilerek medyanın hangi sınıf içinde bulunduğu tespit edilir. Bu sınıfa medyan sınıfı denir. Daha sonraki işlemleri bir örnekle açıklayalım:

Örnek : Bir işletmede çalışan işçilerin saat başına aldıkları ücretlerin bölünmesi aşağıdaki gibidir. Medyan işçinin ücreti nedir?

Tablo 4.2

Saat ücreti TL. İşçi sayısı n Kümülatif frekanslar

0 – 200’den az 8 8
200 – 400’den az 11 19

400 – 600’den az 7 26
600 – 800’den az 6 32
∑n = 32

Seri sürekli ve gruplanmış olduğundan medyan N / 2 = 32 / 2 = 16’ıncı sıradaki birimdir ve 200-400’den az sınıfının içinde bulunmaktadır.
Medyan sınıfı içindeki değerlerin sınıf içinde eşit aralıklarla dağılmış olduğu varsayımından hareket edersek bu sınıf içindeki değerler arasında 200 / 11 = 18 TL’lik aralıklar olacağını söyleyebiliriz. Bundan sonra toplam frekansı 2’ye ayıran 16’ncı birimin bu sınıf içinde kaçıncı olduğunu bulmak gerekir. Bu, 16 – 8 = 8’inci birimdir ve değeri şöyle hesaplanır:

Med = 200 + (16 – 8) x 200/11
= 1600/11 + 200
= 345.45
Diğer bir deyimle medyan (16’ıncı) işçinin saat ücreti 345 TL’dir. Buna dayanarak medyanın genel formülünü yazabiliriz:


m - 1
N - ∑ ni
Med = l1 + 21 . Sm
nm

Bu formülde:

l1 = medyan sınıfının alt hududu

N = frekanslar toplamının yarısı
2

m-1
∑ ni = medyan sınıfından önceki sınıfların frekanslarının toplamı
1

nm = medyan sınıfının frekansı

Sm = medyan sınıfının aralığı

olarak belirlenmiştir.

Görüldüğü gibi medyanın hesaplanmasında aritmetik ortalamada olduğu gibi sınıf aralıklarının eşit olması zorunluluğu yoktur. Medyanın diğer önemli bir özelliği serideki değerlerin medyandan sapmalarının mutlak toplamının minimum olmasıdır.

∑* *׀Xi – Med׀ = minimum


1.1. Medyanın Özellikleri

Medyan matematiksel olmayan bazı özelliklere sahiptir.

1. Özellik : Terimlerin medyandan mutlak sapmalarının toplamı minimumdur : ∑* *׀Xi – Med׀ = min . Medyanın tek matematiksel özelliği olan bu durumu ispata başvurmaksızın bir örnek yardımıyla gösterelim.

Örnek :
Xi
3
5
6
8
13



Yukarıdaki basit seriden X = 7 ve Me = 6 değerleri elde edilebilir. Bu değerlerden yararlanarak, aritmetik ortalamadan ve medyandan mutlak sapmaları hesaplayalım.


*׀Xi – X׀ *׀Xi – Me׀
4 3
2 1
1 0
1 2
6 7
14 13

Görüldüğü gibi, medyandan mutlak sapmaların toplamı, aritmetik ortalamadan mutlak sapmaların toplamından daha küçüktür. Diğer ortalamalar için de benzer kıyaslamalar yapılabilir ve aynı sonuca ulaşılabilirdi.

2. Özellik : Basit bir sıralama ile bulunması mümkün olduğundan medyan birçok durumda pratik bir ortalama oluşturur. Örneğin, bir grup öğrencinin ortalama boy uzunluğunu teker teker ölçmeye gerek yoktur. Öğrenciler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra, tam ortaya düşen bir (veya iki) öğrencinin boy uzunluğu ölçülmekle sonuca ulaşılır.
3. Özellik : Seride açık (alt sınırı veya üst sınırı belli olmayan) sınıfların varlığı halinde medyan hesabı önem kazanır. Açık sınıflı seriler için duyarlı ortalama hesabında açık sınıfa tahminsel bir sınıf ortalaması verilmesi gerekir. Dolayısıyla gerçekten az veya çok uzaklaşılması tehlikesi ortaya çıkar. Oysa medyan hesabında açık sınıflar sadece frekansları ile hesaba girdiği için, açık sınıfların bu sakıncası ortadan kalkabilir. Ancak medyan sınıfı serinin ilk sınıfı olduğunda, sınıfın alt sınırını yine tahminsel olarak ele almak gerekir.
4. Özellik : Diğer ortalamaların aksine, gruplanmış serinin medyan hesabında sınıf genişliklerinin tamamının eşit olması gerekmez.
5. Özellik: Medyan serideki anormal terimlerden etkilenmez.