Açık Önermeler ve İspat Kavramı

Konu Özeti

Önermeler sabit ifadelerden oluşabileceği gibi herhangi bir değişkene bağlı olarak da oluşturulabilir. Değişkenler kullanılarak oluşturulan önermelerde "her" ve "bazı" gibi niceleyiciler kullanılır.

“Her” ve “Bazı” Niceleyicileri

“Her” ve “Bazı” niceleyicileri matematiksel bir ifadede (veya soruda) tanım yapılırken çok sık kullanılmaktadır. Örneğin, “her x bir tamsayı olmak üzere…” şeklinde başlayan

sorularda bu niceleyiciler kullanılmaktadır.

“Her” Niceleyicisi

“Her” niceleyicisi, bütün, tamamı anlamına gelen, önüne geldiği elemanların (değişkenlerin vb.) tamamını anlattığı için evrensel niceleyici olarak isimlendirilir. “Her” niceleyicisi $\mathrm{\forall }$ sembolüyle gösterilir.

“Bazı” Niceleyicisi

“Bazı” niceleyicisi, en az bir anlamına gelir. “Bazı” niceleyicisine varlıksal niceleyici denir ve $\mathrm{\exists }$ sembolü ile gösterilir.

Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunan (örneğin x değişkeni) ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış belirlenen önermelere açık önerme denir.

Açık önermeyi sağlayan değerler kümesine, açık önermenin doğruluk kümesi (çözüm kümesi) denir. Yani bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi denir. Kısaca, bir x sayısı p(α) açık önermesinin doğruluk kümesinin;

• elemanıysa => $�(�)\equiv 1$
• elemanı değilse $�(�)\equiv 0$

Açık Önermenin Değili (Olumsuzu)

Açık önermelerde kullanılan “Her” niceleyicisinin değili “Bazı” niceleyicisi ve “Bazı” niceleyicisinin değili de “Her” niceleyicisidir.

$$[\mathrm{\forall }�,�(�){]}^{\mathrm{\prime }}\equiv \mathrm{\exists }�,{�}^{\mathrm{\prime }}(�)$$

$$[\mathrm{\exists }�,�(�){]}^{\mathrm{\prime }}\equiv \mathrm{\forall }�,{�}^{\mathrm{\prime }}(�)$$

Mantıkta Kullanılan Bazı İfadelerin Olumsuzları

Sembol

$\mathrm{\forall }$

$\mathrm{\exists }$

$\wedge$

$\vee$

$=$

$\mathrm{\ne }$

$\equiv ̸$

$\equiv$

$<$

$>$

$\le$

$\ge$

Değili

$\mathrm{\exists }$

$\mathrm{\forall }$

$\vee$

$\wedge$

$\mathrm{\ne }$

$=$

$\equiv$

$\equiv ̸$

$\ge$

$\le$

$>$

$<$

Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat

Tanım

Anlamı bilinen sözcüklerle birlikte, tanımlı veya tanımsız terimler kullanılarak herhangi bir yeni terimin özelliklerini belirtmeye tanımlama denir.

İyi bir tanımlama açık ve anlaşılır olmalıdır. Ayrıca tanım, tanımlanan terimin belirtilmesi gereken bütün özelliklerini kapsamalı ve başka özellikleri kapsamayacak biçimde kesin olmalıdır.

Aksiyom

Doğruluğu ispata gerek duymaksızın kabul edilen önermelere aksiyom denir. Örneğin “iki noktadan bir doğru geçer” ifadesi aksiyomdur.

Teorem

Doğruluğunun ispatla kanıtlanması gereken önermelere teorem denir. Örneğin “bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı $360^{\circ }$ dir” önermesi doğrudan kabul edilebilecek bir önerme değildir. Bu yüzden teoremdir.

İspat

Aksiyom, kural, sonuç veya tanımları kullanarak bir önermenin doğru ya da yanlış olduğunun gösterilmesine ispat denir.

Eğitim : Ödev / Ders / Proje / Tez / Çizim