Bölme ve Bölünebilme

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

• 
  
• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
• A = B . C + K dır.
• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 1 + 2) – (a3 + 4 + 5) + ... = 7k
olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 1 + 2) – (a3 + 4 + 5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve k Î Z olmalıdır.
® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,

• 
  
• A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

• 
  
• 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.

• 
  
• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• 
  
• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

• 
  
• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• 
  
• A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: