İçindekiler
1 Önermeler ve İspat Yöntemleri 1
2 Kümeler 11
3 Bağıntılar ve Özellikleri 26
4 Denklik Bağıntıları 37
5 Sıralama Bağıntıları 42
6 Fonksiyonlar 48
7 İşlem ve Özellikleri 59
8 Cebirsel Yapılar 65
9 Sayılabilirlik 71
10 Doğal Sayıların İnşası 77
11 Tümevarım İlkesi 85
12 Tamsayılar
Bölüm 1
Önermeler ve İspat Yöntemleri
Tanım 1.1 Doğru veya yanlış ama bunlardan sadece bir tanesi olabilen ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, . . . gibi harflerle gösterilir.
Örnek 1.2 Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını bulalım:
(a) 2 asal sayıdır.
(b) Her n doğal sayısı için 2
n + 1 asaldır. (Dikkat: 0 doğal sayıdır)
(c) Düzlemde bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir.
(d) 4’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır. (Goldbach, 1742)
(e) Yarın pikniğe gidelim.
Çözüm: Burada (a) ve (c) doğru birer önermedir. n = 3 için 2
n + 1 = 9 asal olmadığından (b) yanlış
bir önermedir. (d) ifadesi 1742’de Rus matematikçi Christian Goldbach tarafından ortaya atılmış bir
iddiadır ve henüz doğru olup olmadığı ispatlanamamıştır. Ya doğru ya yanlış olacağından bir önermedir.
(e) cümlesi kesin bir hüküm bildirmediğinden bir önerme değildir.
Not: Bir tahtada yazan “Bu tahtadaki her cümle yanlıştır” cümlesinin doğru olması da yanlış olması
da çelişkiye yol açacağından bu cümle bir önerme değildir. Benzer şekilde bir Romalının söyleyeceği
“Bütün Romalılar yalancıdır” cümlesi de önerme olamaz.
Tanım 1.3 İfadesinde değişkenler bulunan ve bu değişkenlerin alacağı değerlere göre doğru veya yanlış
(ama bunlardan sadece bir tanesi) olabilen ifadelere açık önerme denir. Açık önermeler değişken
sayısına göre p(x), p(x, y), p(x, y, z), . . . gibi gösterilir.
Örnek 1.4 x bir reel sayıyı göstermek üzere, p(x) açık önermesi “x
2 + x = 0” olsun.
x = 0 ve x = −1
için önerme doğrudur.
Yani p(0) ve p(−1) doğrudur.
Aksi halde önerme yanlıştır.
https://eders.kku.edu.tr/pluginfile.php/450/mod_resource/content/1/sm-dersnot%20H%C3%BCseyinBilgi%C3%A7.pdf
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder
ders,plan,proje,performans,ödev