Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir
mod = ℓa + ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
veya
mod = ℓü - ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
ℓa : doruk değer bölümünün alt sınırı,
ℓü : doruk değer bölümünün üst sınırı,
∆1 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir önceki bölümün sıklığı arasındaki fark,
∆2 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir sonraki bölümün sıklığı arasındaki fark,
cdd : doruk değer bölümünün aralığı.
Örnek :
Aşağıdaki gruplanmış serinin modunu hesaplayalım.
Sınıflar ni
0-2 den az 3
2-4 den az 2
M0 → 4-6 dan az 4
6-8 den az 1
Serideki en yüksek frekans 4 olduğu için, mod sınıfı 4-6 dan az sınıfı olacaktır. Bu sınıfın alt sınırı 4, üst sınırı 6 ve genişliği 2’dir. ∆1= 4-2 =2 ve ∆2= 4-1=3 olduğu ise, mod sınıfı ile ondan bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları yardımıyla bulunabilir. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım.
M0 = 4 + 2 . = 4,8
2+3
Bazen bir seride birden fazla maksimum frekans bulunabilir. Dolayısıyla, mod hesabında bu frekanslardan hangisinin dikkate alınacağı konusunda tereddüte düşülebilir. Bilindiği gibi, en yüksek frekanslar iki tane olduğunda seri “çift tepeli seri”, üç tane olduğunda “üç tepeli seri” vb. Şeklinde adlandırılır. Bu gibi durumlarda sınıflanmış seriler gruplanmış seri haline dönştürülür, gruplanmış serilerin ise sınıfları birleştirilir. Bu şekilde sınıflanmış seri yerine bir gruplanmış seri veya daha geniş aralıklı fakat daha az sayıda sınıftan oluşan yeni bir gruplanmış seri elde edilir. Sınıflar birleştirilirken frekanslar da toplanacağı için, en yüksek frekansa sahip sınıf sayısı bu işlem sonunda bire iner.
3.3. Birkaç Tepe Noktalı Dağılımlarda Modun Belirlenmesi
Bazı dağılımlarda terimler birden fazla değer etrafında veya birden fazla bölümde
toplanmağa eğilimlidirler. Böyle durumlarda kesin bir mod (doruk değeri) hesaplanamaz. Terimlerin etrafında toplanma eğilimi gösterdikleri çeşitli değerlerin sıklıkları eşit olmasa bile doruk değerin belirlenmesinde bir kararsızlık belirebilir.
Dağılımlarda birden fazla tepe noktasının ortaya çıkmasının nedenleri çeşitlidir; gözlem sayısının yetersiz kalması, incelenen birimlerin homojen olmaması, bölümlendirilmiş dağılımlarda bölüm sayısının gereğinden fazla tutulması, bazen de incelenen olayın niteliği tek bir doruk değerin hesabını olanaksız yapar. Eğer gözlem sayısının yetersizliği doruk değerin hesaplanılmasına olanak vermiyorsa, çare gözlem sayısını artırmak ve böylece terimlerin bir kıymet etrafında toplanmasını sağlamaktır. Gözlem sayısı artırılamıyor ve incelenen sıklık dağılımı ise, dağılımın bölümlendirilmesine, eldeki dağılım bölümlendirilmiş ise, bölümlerin genişletilmesi yoluna gidilir.
İncelenen yığın homojen birimlerden meydana gelmediği için birden fazla tepe nokta ortaya çıkıyorsa, yığın homojen gruplara ayrılarak her grup için ayrı doruk değer hesaplanır. Yığının homojen olmadığı durumda terimlerin bölümlerde toplanılması veya var olan bölümlerin genişletilmesi doğru olmaz.
Eğer olayın niteliği sebebiyle terimler sadece bir değer etrafında toplanma eğilimi göstermiyorsa doruk değer hesaplanamaz.
3.4. Modun Özellikleri
Modun matematiksel olmayan bazı özellikleri vardır. Bunlara kısaca değinelim.
1. Özellik : Ortalamalar arasında mod en temsili olanıdır. Çünkü kütledeki birimlerin önemli bir kısmına değerce uyar. Oysa daha önce incelediğimiz ortalamaların hiç birinde bu özellik yoktur.
2. Özellik : Sınıflanmış serilerde modun tam sayı karakterinde olması gerçeğin daha iyi yansıtılmasını sağlar. Örneğin, bir bölgede yaşanan ailelerin ortalama çocuk sayısı duyarlı ortalamalardan herhangi biriyle hesaplanıldığında 3,16 çocuk gibi garip bir rakamla karşılaşılabilir. enm.blogcu.com.Buna karşılık, mod hesaplanmış olsa mutlaka 3, 4 vb. gibi bir tam sayı elde edilecektir. Bölgedeki ailelerin ortalama çocuk sayısının 3 olduğunu söylemenin 3,16 olduğunu söylemekten daha anlamlı olacağı açıktır.
3. Özellik : Mod anormal terimlerin etkisi altında kalmaz. Çok zengin bir kişinin köye taşındığını varsayalım. Köyün ortalama gelir düzeyi mod belirlendiğinde, bu kişinin geliri (anormal terim) serinin ucunda yer alacağı için, hesaplama dışı kalır ve modu etkilemez.
4. Özellik : Mod uygulamada farkına varılmadan en çok başvurulan ortalamalardan biridir. Örneğin, kundura ve hazır giyim eşyası üretiminde en çok satılan numaralar ve bedenler dikkate alınır ki, bu, mod hesabı anlamını taşır.
3.5. Modla İlgili Tamamlayıcı Bilgiler
Doruk değer şimdiye kadar incelenen tüm ortalamalar içinde en az duyarlı
olanıdır; dağılımdaki çok büyük ve çok küçük değerlerden etkilenmez, bu bakımdan sözü edilen dağılımlarda aritmetik ortalamanın yerine kullanılabilen bir ortalamadır. Doruk değer ekonomik olaylarda en çok uygulanan ortalamadır. Buna
4. Medyan
4.1. Tanım
Bir serideki bütün değerleri küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralayarak
bir dizi teşkil edersek, tam ortadaki yani seriyi iki eşit frekansa sahip kısma ayıran değer, medyan (ortanca) olarak tanımlanmaktadır. Özellikle çok büyük ve çok küçük değerlerin de bulunduğu serilerde medyan aritmetik ortalamaya kıyasla seriyi daha iyi temsil edebilmektedir. Medyanı bir frekans eğrisinin alanını iki eşit parçaya bölen çizgiye tekabül eden X değeri olarak da tarif etmek mümkündür. Şayet seride çift sayıda değer varsa tam ortadaki iki değerin ortalaması medyan olarak kabul edilir. Çok sayıda değerden meydana gelen süreksiz serilerde
N + 1
2
formülü yardımıyla medyanın kaçıncı sırada olduğu tespit edilir. Bu formülde N serideki gözlem sayısını (toplam frekans) ifade etmektedir. Tek veya çift sayıda değere sahip süreksiz seriler için aynı formül kullanılır.
Örneğin 8 değere sahip bir seride,
8 +1 = 4.5’inci sıradaki değer medyan olacaktır.
2
Sürekli serilerde ise N/2 formülü ile medyan değerinin kaçıncı sırada bulunduğu tespit edilmektedir. Gruplanmış serilerde bir sınıfın bittiği yerden diğeri başladığından seri sürekli olarak kabul edilir ve aynı formül tatbik edilir. enm.blogcu.com.Önce tasnif edilmiş daha sonra gruplanmış serilerde medyanın nasıl hesaplandığını görelim:
Tasnif edilmiş serilerde N + 1 formülüne dayanarak medyanın kaçıncı birim olduğunu
2
hesapladıktan sonra frekanslar sütunu yukarıdan aşağıya doğru kümüle edilerek medyanın hangi X değerine tekabül ettiği kolayca anlaşılabilir.
Örnek : Aşağıdaki tabloda tasnif edilmiş bir serinin meydanının hesaplanması görülmektedir:
mod = ℓa + ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
veya
mod = ℓü - ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
ℓa : doruk değer bölümünün alt sınırı,
ℓü : doruk değer bölümünün üst sınırı,
∆1 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir önceki bölümün sıklığı arasındaki fark,
∆2 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir sonraki bölümün sıklığı arasındaki fark,
cdd : doruk değer bölümünün aralığı.
Örnek :
Aşağıdaki gruplanmış serinin modunu hesaplayalım.
Sınıflar ni
0-2 den az 3
2-4 den az 2
M0 → 4-6 dan az 4
6-8 den az 1
Serideki en yüksek frekans 4 olduğu için, mod sınıfı 4-6 dan az sınıfı olacaktır. Bu sınıfın alt sınırı 4, üst sınırı 6 ve genişliği 2’dir. ∆1= 4-2 =2 ve ∆2= 4-1=3 olduğu ise, mod sınıfı ile ondan bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları yardımıyla bulunabilir. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım.
M0 = 4 + 2 . = 4,8
2+3
Bazen bir seride birden fazla maksimum frekans bulunabilir. Dolayısıyla, mod hesabında bu frekanslardan hangisinin dikkate alınacağı konusunda tereddüte düşülebilir. Bilindiği gibi, en yüksek frekanslar iki tane olduğunda seri “çift tepeli seri”, üç tane olduğunda “üç tepeli seri” vb. Şeklinde adlandırılır. Bu gibi durumlarda sınıflanmış seriler gruplanmış seri haline dönştürülür, gruplanmış serilerin ise sınıfları birleştirilir. Bu şekilde sınıflanmış seri yerine bir gruplanmış seri veya daha geniş aralıklı fakat daha az sayıda sınıftan oluşan yeni bir gruplanmış seri elde edilir. Sınıflar birleştirilirken frekanslar da toplanacağı için, en yüksek frekansa sahip sınıf sayısı bu işlem sonunda bire iner.
3.3. Birkaç Tepe Noktalı Dağılımlarda Modun Belirlenmesi
Bazı dağılımlarda terimler birden fazla değer etrafında veya birden fazla bölümde
toplanmağa eğilimlidirler. Böyle durumlarda kesin bir mod (doruk değeri) hesaplanamaz. Terimlerin etrafında toplanma eğilimi gösterdikleri çeşitli değerlerin sıklıkları eşit olmasa bile doruk değerin belirlenmesinde bir kararsızlık belirebilir.
Dağılımlarda birden fazla tepe noktasının ortaya çıkmasının nedenleri çeşitlidir; gözlem sayısının yetersiz kalması, incelenen birimlerin homojen olmaması, bölümlendirilmiş dağılımlarda bölüm sayısının gereğinden fazla tutulması, bazen de incelenen olayın niteliği tek bir doruk değerin hesabını olanaksız yapar. Eğer gözlem sayısının yetersizliği doruk değerin hesaplanılmasına olanak vermiyorsa, çare gözlem sayısını artırmak ve böylece terimlerin bir kıymet etrafında toplanmasını sağlamaktır. Gözlem sayısı artırılamıyor ve incelenen sıklık dağılımı ise, dağılımın bölümlendirilmesine, eldeki dağılım bölümlendirilmiş ise, bölümlerin genişletilmesi yoluna gidilir.
İncelenen yığın homojen birimlerden meydana gelmediği için birden fazla tepe nokta ortaya çıkıyorsa, yığın homojen gruplara ayrılarak her grup için ayrı doruk değer hesaplanır. Yığının homojen olmadığı durumda terimlerin bölümlerde toplanılması veya var olan bölümlerin genişletilmesi doğru olmaz.
Eğer olayın niteliği sebebiyle terimler sadece bir değer etrafında toplanma eğilimi göstermiyorsa doruk değer hesaplanamaz.
3.4. Modun Özellikleri
Modun matematiksel olmayan bazı özellikleri vardır. Bunlara kısaca değinelim.
1. Özellik : Ortalamalar arasında mod en temsili olanıdır. Çünkü kütledeki birimlerin önemli bir kısmına değerce uyar. Oysa daha önce incelediğimiz ortalamaların hiç birinde bu özellik yoktur.
2. Özellik : Sınıflanmış serilerde modun tam sayı karakterinde olması gerçeğin daha iyi yansıtılmasını sağlar. Örneğin, bir bölgede yaşanan ailelerin ortalama çocuk sayısı duyarlı ortalamalardan herhangi biriyle hesaplanıldığında 3,16 çocuk gibi garip bir rakamla karşılaşılabilir. enm.blogcu.com.Buna karşılık, mod hesaplanmış olsa mutlaka 3, 4 vb. gibi bir tam sayı elde edilecektir. Bölgedeki ailelerin ortalama çocuk sayısının 3 olduğunu söylemenin 3,16 olduğunu söylemekten daha anlamlı olacağı açıktır.
3. Özellik : Mod anormal terimlerin etkisi altında kalmaz. Çok zengin bir kişinin köye taşındığını varsayalım. Köyün ortalama gelir düzeyi mod belirlendiğinde, bu kişinin geliri (anormal terim) serinin ucunda yer alacağı için, hesaplama dışı kalır ve modu etkilemez.
4. Özellik : Mod uygulamada farkına varılmadan en çok başvurulan ortalamalardan biridir. Örneğin, kundura ve hazır giyim eşyası üretiminde en çok satılan numaralar ve bedenler dikkate alınır ki, bu, mod hesabı anlamını taşır.
3.5. Modla İlgili Tamamlayıcı Bilgiler
Doruk değer şimdiye kadar incelenen tüm ortalamalar içinde en az duyarlı
olanıdır; dağılımdaki çok büyük ve çok küçük değerlerden etkilenmez, bu bakımdan sözü edilen dağılımlarda aritmetik ortalamanın yerine kullanılabilen bir ortalamadır. Doruk değer ekonomik olaylarda en çok uygulanan ortalamadır. Buna
4. Medyan
4.1. Tanım
Bir serideki bütün değerleri küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralayarak
bir dizi teşkil edersek, tam ortadaki yani seriyi iki eşit frekansa sahip kısma ayıran değer, medyan (ortanca) olarak tanımlanmaktadır. Özellikle çok büyük ve çok küçük değerlerin de bulunduğu serilerde medyan aritmetik ortalamaya kıyasla seriyi daha iyi temsil edebilmektedir. Medyanı bir frekans eğrisinin alanını iki eşit parçaya bölen çizgiye tekabül eden X değeri olarak da tarif etmek mümkündür. Şayet seride çift sayıda değer varsa tam ortadaki iki değerin ortalaması medyan olarak kabul edilir. Çok sayıda değerden meydana gelen süreksiz serilerde
N + 1
2
formülü yardımıyla medyanın kaçıncı sırada olduğu tespit edilir. Bu formülde N serideki gözlem sayısını (toplam frekans) ifade etmektedir. Tek veya çift sayıda değere sahip süreksiz seriler için aynı formül kullanılır.
Örneğin 8 değere sahip bir seride,
8 +1 = 4.5’inci sıradaki değer medyan olacaktır.
2
Sürekli serilerde ise N/2 formülü ile medyan değerinin kaçıncı sırada bulunduğu tespit edilmektedir. Gruplanmış serilerde bir sınıfın bittiği yerden diğeri başladığından seri sürekli olarak kabul edilir ve aynı formül tatbik edilir. enm.blogcu.com.Önce tasnif edilmiş daha sonra gruplanmış serilerde medyanın nasıl hesaplandığını görelim:
Tasnif edilmiş serilerde N + 1 formülüne dayanarak medyanın kaçıncı birim olduğunu
2
hesapladıktan sonra frekanslar sütunu yukarıdan aşağıya doğru kümüle edilerek medyanın hangi X değerine tekabül ettiği kolayca anlaşılabilir.
Örnek : Aşağıdaki tabloda tasnif edilmiş bir serinin meydanının hesaplanması görülmektedir:
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -3
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -4
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -5
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -6
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -7
Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Mod ve Medyan Nedir -8
Eğitim : Ödev / Ders / Proje / Tez / Çizim
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder
ders,plan,proje,performans,ödev